O problemă veche de 125 de ani, rezolvată de matematicieni. Descoperire uriașă pentru aviație, meteorologie și inginerie

Când cel mai mare matematician al vremii propune o viziune pentru viitorul științei, lumea academică ia aminte. Așa s-a întâmplat în anul 1900, la Congresul Internațional al Matematicienilor organizat la Universitatea Sorbona din Paris. Renumitul matematician David Hilbert a prezentat atunci zece probleme nerezolvate, gândite ca jaloane ambițioase pentru cercetarea științifică a secolului XX. Ulterior, lista sa a fost extinsă la 23 de probleme, iar influența acestora asupra gândirii matematice din ultimii 125 de ani este uriașă.

A șasea problemă formulată de Hilbert este printre cele mai ambițioase: el a propus "axiomatizarea" fizicii, adică identificarea unui set minim de presupuneri matematice care să stea la baza tuturor teoriilor fizice. În sens larg, nici nu e clar dacă matematicienii și fizicienii pot ști cu adevărat când această provocare a fost complet rezolvată. Totuși, Hilbert a sugerat câteva obiective specifice, iar cercetătorii au rafinat aceste idei în pași concreți care să conducă spre o soluție.

În luna martie, matematicienii Yu Deng de la Universitatea din Chicago, împreună cu Zaher Hani și Xiao Ma de la Universitatea din Michigan, au publicat pe platforma arXiv.org un nou articol științific în care susțin că au reușit să atingă unul dintre aceste obiective. Dacă lucrarea lor va trece testul validării științifice, ar putea reprezenta un pas major în fundamentarea fizicii pe baze matematice riguroase — și ar putea deschide calea unor descoperiri similare în alte ramuri ale fizicii, scrie Live Science.

Descoperirea, foarte importantă pentru inginerie

În lucrarea lor, cei trei cercetători afirmă că au reușit să unifice trei teorii fizice esențiale care descriu mișcarea fluidelor. Aceste teorii stau la baza multor aplicații inginerești, de la proiectarea avioanelor până la prognoza meteo. Deși folosite intens, ele se bazau până acum pe presupuneri care nu fuseseră demonstrate matematic. Noua descoperire nu modifică teoriile în sine, ci oferă o justificare matematică solidă care întărește încrederea în corectitudinea ecuațiilor utilizate.

Fiecare dintre aceste trei teorii oferă o perspectivă diferită asupra acelorași fenomene — mișcarea fluidelor — în funcție de nivelul de detaliu la care sunt analizate.

La nivel microscopic, fluidele sunt formate din particule — ca niște bile care se ciocnesc și se mișcă conform legilor mișcării formulate de Newton. La acest nivel, comportamentul fiecărei particule poate fi urmărit individual.

Când mărim scala de analiză, ajungem la nivelul mezoscopic. Aici, modelarea fiecărei particule în parte devine imposibilă din punct de vedere practic. În 1872, fizicianul teoretician austriac Ludwig Boltzmann a oferit o soluție: ecuația care îi poartă numele nu urmărește fiecare particulă, ci comportamentul probabil al uneia tipice. Este o abordare statistică ce ignoră detaliile microscopice în favoarea unor tendințe generale, permițând astfel calculul unor mărimi precum impulsul sau conductivitatea termică.

La nivel macroscopic, fluidele sunt văzute ca substanțe continue. Aici intră în scenă ecuațiile Euler și Navier-Stokes, care descriu mișcarea fluidelor și interacțiunile dintre proprietățile lor fizice fără a mai apela deloc la particule.

În ce constă demonstrația celor trei matematicieni

Toate aceste trei niveluri descriu aceeași realitate fizică. În teorie, fiecare nivel ar trebui să rezulte logic din cel anterior: ecuațiile macroscópice (Euler și Navier-Stokes) ar trebui să decurgă din ecuația Boltzmann de la nivelul mezoscopic, care, la rândul ei, ar trebui să decurgă din legile lui Newton de la nivelul microscopic. Exact acest tip de legătură — o construcție logică solidă, de jos în sus — este ceea ce Hilbert cerea în problema a șasea. El a făcut chiar referire explicită la lucrările lui Boltzmann despre gaze.

Unificarea acestor trei perspective asupra dinamicii fluidelor a reprezentat o provocare majoră, dar Deng, Hani și Ma par să fi reușit ceea ce părea imposibil. Rezultatul lor se bazează pe zeci de ani de cercetări progresive. Însă, până acum, toate realizările în acest domeniu veneau cu diverse limitări: demonstrațiile funcționau doar pe intervale de timp scurte, doar în vid sau doar în condiții simplificate.

Demonstrația celor trei matematicieni constă, în linii mari, în trei pași: derivarea teoriei macroscopice din cea mezoscopică; derivarea celei mezoscopice din cea microscopică; și apoi unificarea celor două tranziții într-o singură demonstrație care pornește de la legile lui Newton și ajunge până la ecuațiile Navier-Stokes.

Pasul cel mai greu

Primul pas era deja bine înțeles — chiar și Hilbert contribuise la el. Dar al doilea pas, cel de a deriva ecuația Boltzmann din legile lui Newton, a fost considerabil mai dificil din punct de vedere matematic. De ce? Pentru că vorbim despre comportamentul colectiv al unui număr enorm de particule. Deng, Hani și Ma au analizat ce se întâmplă cu ecuațiile lui Newton atunci când numărul particulelor crește la infinit, iar dimensiunea acestora tinde spre zero. Au demonstrat că, în acest caz extrem, comportamentul statistic al sistemului converge către soluția ecuației Boltzmann.

Aceasta este o punte esențială: derivarea matematicii mezoscopice din comportamentul extrem al celei microscopice.

Marea provocare a acestui pas a fost legată de durata de timp analizată. Se știa deja cum se poate deduce ecuația Boltzmann din legile lui Newton pe intervale de timp foarte scurte — dar acest lucru nu era suficient pentru viziunea lui Hilbert, care presupune ca teoriile să funcționeze pe durate oricât de mari. Pe măsură ce timpul crește, apar mai multe coliziuni și interacțiuni între particule, iar întreaga "istorie" a acestora începe să influențeze comportamentul lor actual.

Cei trei cercetători au reușit să depășească acest obstacol printr-o analiză extrem de riguroasă: au cuantificat cât de mult influențează trecutul unei particule comportamentul ei prezent și au folosit noi tehnici matematice pentru a demonstra că efectele cumulate ale coliziunilor rămân totuși suficient de mici.

Dacă demonstrația va fi confirmată, aceasta ar putea fi una dintre cele mai importante contribuții la înțelegerea fundamentală a fizicii din ultimele decenii.

  Fiți la curent cu ultimele noutăți. Urmăriți DCNews și pe Google News